2022MathorCup数学建模挑战赛C题解析——基于A*算法的自动泊车路径优化

参赛心得

2022年，我和两位队友参加了MathorCup数学建模挑战赛。这次参赛是一次突发奇想的决定，但在指导老师的帮助下，我们学到了很多关于建模和算法的知识。本文将分享我们在解决C题时的思路，特别是如何使用和优化A*算法来解决自动泊车的最优路径问题。需要注意的是，这些思路还在不断完善中，可能并非全局最优解。

在文章的最后，我会分享解题的Matlab代码。这些代码基于网络资源进行了适当的修改，以适应我们的需求。如果你遇到类似的问题，可以参考我的代码。此外，我还推荐两篇关于A*算法原理和Matlab实现的详细博客，它们在比赛过程中给予了我很大的帮助。

题目背景

MathorCup挑战赛C题的第三问涉及自动泊车的最优路径问题。具体来说，车辆需要找到停车场中代价最小的停车位。这个问题可以通过多种路径搜索算法解决，如BFS、DFS、Dijkstra算法等。然而，我们选择了A*算法，因为它具有启发性，能够有效避免无效路径的搜索，从而提高效率。

问题分析

在自动泊车问题中，关键在于如何高效地搜索到代价最小的停车位。虽然A*算法通常用于寻找单一起点和单个终点之间的最优路径，但在本题中，起点只有一个，而终点（即停车位）可能有多个。因此，我们需要对A*算法进行一定的调整，使其适用于这种情况。

A*算法原理

A*算法的基本原理包括以下几个步骤：

1. 构建地图：将地图信息存储在一个N×N的矩阵中，矩阵中的每个元素表示不同的状态（如起始点、终点、可行路径、障碍物等）。
2. 计算节点代价：A*算法的核心公式为 F(n) = G(n) + H(n)，其中G(n)是从起始节点到当前节点的实际代价，H(n)是从当前节点到终点的预估代价，F(n)则是从起始节点到终点的总预估代价。
3. 拓展节点：通过维护open和close列表，逐步拓展节点，直到找到最优路径或确定无解。

A*算法的应用与优化

在本题中，我们需要处理多个终点的情况。为此，我们在构建地图时记录了所有可能的停车位，并在计算F值时，对每个节点到所有终点的预估代价进行评估，选择最小的一个。一旦找到第一个终点，算法即终止并返回路径。如果所有节点都无法到达终点，则判定无解。

Matlab代码实现

以下是实现上述思路的Matlab代码。这些代码可以直接在Matlab环境中运行，帮助你理解和应用A*算法。

function [goalposind, flag] = AStar(start, emptycarports) % 初始化空闲车位和起始位置 emptycarports = [2, 5, 9, 13, 45, 47, 49, 52, 53, 54, 64, 67, 78, 81, 82]; start = [2, 100]; goalposind = inputcarsports(emptycarports); startposind = sub2ind([6, 124], start(1), start(2)); [field, startposind, goalposind, costchart, fieldpointers] = initializeField(goalposind, startposind); axishandle = createFigure(field, costchart, startposind, goalposind); setOpen = [startposind]; setOpenCosts = [0]; setOpenHeuristics = [Inf]; setClosed = []; setClosedCosts = []; movementdirectiOns= {'R', 'L', 'D', 'U'}; while ~max(ismember(setOpen, goalposind)) && ~isempty(setOpen) [temp, ii] = min(setOpenCosts + setOpenHeuristics); for i = 1:length(goalposind) [costs, heuristics, posinds] = findFValue(setOpen(ii), setOpenCosts(ii), field, goalposind(i), 'euclidean'); end setClosed = [setClosed; setOpen(ii)]; setClosedCosts = [setClosedCosts; setOpenCosts(ii)]; if (ii > 1 && ii  costs(jj) costchart(setOpen(I)) = costs(jj); setOpenCosts(I) = costs(jj); setOpenHeuristics(I) = heuristics(jj); fieldpointers(setOpen(I)) = movementdirections(jj); end elseif max(setClosed == posinds(jj)) I = find(setClosed == posinds(jj)); if setClosedCosts(I) > costs(jj) costchart(setClosed(I)) = costs(jj); setClosedCosts(I) = costs(jj); fieldpointers(setClosed(I)) = movementdirections(jj); end end end end if isempty(setOpen) break; end set(axishandle, 'CData', [costchart costchart(:,end); costchart(end,:) costchart(end,end)]); set(gca, 'CLim', [0 1.1*max(costchart(find(costchart