2021.1.19如何直观理解四元数

如何直观理解四元数

1、首先提供一份很好的视频素材&＃xff0c;来自B站的3Blue1Brown官方视频号&＃xff0c;其中还有很多数学知识讲解很有用。

https://www.bilibili.com/video/BV1SW411y7W1

2、记录一下

a) 四元数是用来干什么的?
目前我的理解是一个四维位空间的旋转因子&＃xff0c;与二维空间的旋转因子i(虚数单位)一样。
b) 如何理解
1)首先从二维坐标开始(实数&＃43;几何)&＃xff0c;在此时二维坐标也可以看作一个复平面
在上述的图片当中2.35&＃43;3.14i,这个向量相当于乘上一个实数并旋转了4&＃43;5i这个向量的角度(使用反余弦函数可以求解)。

也就是说在一个二维坐标平面当中(复平面)&＃xff0c;横坐标表示实数a&＃xff0c;纵坐标表示虚数b&＃xff0c;那么找到一个单位圆(实数为1、虚数单位也为1)这个时候在数字的左边乘虚数i就相当于逆时针旋转90度。在投影线上相当于从0~ -i&＃xff0c;从i~ 正无穷&＃xff0c;从负无穷~-i,再从-i ~ 0。

这里讲解了一个概念----球极投影:

在二维平面内从-1这个点出发画到单位圆上所有点的射线&＃xff0c;射线和纵坐标交点为该点在坐标轴上的投影&＃xff0c;越靠近-1点的半圆在坐标轴上的投影就越趋向无穷远。
在三维空间坐标系上也是使用这种进行推理&＃xff0c;就可以将原来的球面按照-1开始向整个球面发射射线取j、i两个坐标轴&＃xff0c;展开&＃xff0c;会得到两个直线。
2)在这个三维坐标里存在这样的旋转规律:
1左乘j就在x-j的平面内做旋转
1左乘i就在x-i的平面左旋转
i左乘j就在i-j的平面旋转
区别是旋转的方向不同
3)四元数就是在一个实数加三个虚数

在四元数当中的虚数关系

同样的四元数所在的空间就是在三维空间上再添加一个维度&＃xff0c;三维空间是一个单位球面&＃xff0c;此时为一个单位球体。
以一个四元数左乘i为例&＃xff0c;相当于在i轴上进行从0到i到正无穷再到负无穷到-i在到0;在与i轴垂直的平面上进行单位圆的旋转(右手定理:拇指指向i正向四指指向为单位圆旋转方向)&＃xff0c;而四元数的直观则是超级球面沿着垂直i的面进行外翻&＃xff0c;一个轮回结束&＃xff0c;也就是乘四次i之后球面两次外翻恢复原状。