热门标签 | HotTags
当前位置:  开发笔记 > 程序员 > 正文

[线性代数]矩阵(mooc秦静老师讲解)

本实验源于秦静老师的《线性代数》。几种特殊的矩阵方阵当mn时,即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵.零矩阵矩阵元素全为0的矩阵对角矩阵只有对角线非0的

本实验源于秦静老师的《线性代数》。

几种特殊的矩阵

方阵

当m=n时,即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵.

零矩阵

矩阵元素全为0的矩阵

对角矩阵

只有对角线非0的方阵是对角矩阵。

单位矩阵

对角线上的元素都是1的方阵是单位矩阵。

数量矩阵

对角线上的元素是相同的数k为数量阵。

上(下)三角阵

在这里插入图片描述
分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

梯形阵

在这里插入图片描述
我如果来背这个定义的是抓住两个,第一个:非零行全在零行上面。第二个:非零行中非零元素的个数随着行数增大增多或减少。

矩阵的运算

矩阵相等

两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等。

加减法

矩阵的加减法,都是在矩阵的同型上面做运算。

数乘

数k乘矩阵中的每一个元素
在这里插入图片描述

矩阵的乘法

两个矩阵相乘,第一个矩阵的列要等于第二个矩阵的行。
在这里插入图片描述
矩阵的每一行乘以另一个矩阵的每一列。
在这里插入图片描述

乘法运算规律

在这里插入图片描述

乘法练习

在这里插入图片描述
第一题的反例
在这里插入图片描述
第二题的反例
在这里插入图片描述

方阵的正整数幂

在这里插入图片描述

矩阵的转置

在这里插入图片描述
两个矩阵做转置
在这里插入图片描述

对称阵与反对称阵

A^T=A
刚开始看到这个概念的时候,心中就犯迷惑,A的转置本来就等于A啊。然后又仔细看了一下定义,后面一句话是关键
在这里插入图片描述
若A^T=-A那肯定是
在这里插入图片描述
这肯定要牢记,以前复习,都没注意到。我一定要深深领会才是。
任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和。
在这里插入图片描述

方阵的行列式

由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式,记为|A|.
若方阵的行列式不为0,则称方阵为非奇异方阵,否则称为奇异方阵。

n阶方阵

在这里插入图片描述
这就是方阵的行列式。下面还有一条规律。
在这里插入图片描述
这就让我充分明白了,听视频可以十分钟,而最后的回顾起来,把这些零零碎碎的知识点,在重新捡起来,要好久。
这节最后提了一句:奇数阶反对称阵的行列式的值为0

伴随矩阵

代数余子式的顺序一定要注意:
在这里插入图片描述
应该是这样子的。然后按照行列式的定义。
在这里插入图片描述

可以导出这个公式,这个公式,也是在后面用到非常广泛的。
在这里插入图片描述

矩阵的初等变换

三种变换

  • 对换矩阵中第i,j两行(列)的位置.
  • 用非零常数k乘第i行(列)
  • 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行(列)对应元素上去。

提示:初等变换可以简化矩阵,如将矩阵化为梯形阵。

化矩阵后的矩阵,肯定不与原矩阵相等,那么我们称它们为等价。
在这里插入图片描述

矩阵的秩

研究最高阶数称为矩阵A的秩。记作r(A).它也有四个性质,这也后面在证明的时候,运用的比较多。

  • r(Am*n)<&#61;min{m,n}
  • 若有一个r阶子式不为0&#xff0c;则r(A)>&#61;r;若所有r阶子式全为0&#xff0c;则r(A)
  • r(A^t)&#61;r(A)
  • 设An*n,若|A|≠0&#xff0c;则r(A)&#61;n&#xff1b;若|A|&#61;0,则r(A)

定理&#xff1a;矩阵经初等变换后其秩不变。
当然了&#xff0c;矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。显然&#xff0c;若两个矩阵有相同的秩&#xff0c;则这两个矩阵有相同的标准形&#xff0c;从而等价&#xff1b;反之&#xff0c;若两个矩阵等价&#xff0c;则他们的秩相同。
即有&#xff1a;
定理&#xff1a;矩阵A与B等价的充要条件是r(A)&#61;r(B)

满秩矩阵

定义&#xff1a;若方阵A的秩与其阶数相等&#xff0c;则称A为满秩矩阵&#xff1b;否则称为降秩矩阵。
定理&#xff1a;设A为满秩阵&#xff0c;则A的标准形为同阶单位阵E&#xff0c;即
在这里插入图片描述
定义&#xff1a;若方阵A的行列式|A|≠0&#xff0c;则称A为非奇异矩阵&#xff1b;若|A|&#61;0&#xff0c;则称为A为奇异矩阵。

满秩<&#61;&#61;>非奇异

降秩<&#61;&#61;>奇异

初等矩阵

当大家看见初等二字&#xff0c;那就是经过初等变换。对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。

  • 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵。
  • 初等矩阵都是非奇异的。
  • 行变换相当于左乘初等矩阵
  • 列变换相当于右乘初等矩阵

其实这些可以&#xff0c;都在实际训练中获得。

逆矩阵

谈到逆矩阵的时候&#xff0c;一定要熟悉定义&#xff0c;存在矩阵B&#xff0c;使得AB&#61;BA&#61;E。如果一个矩阵可逆&#xff0c;那么称这个逆矩阵唯一。并且每个方阵都可逆。想到逆阵&#xff0c;并且想要可求&#xff0c;那么就会想到
在这里插入图片描述
只要一除&#xff0c;就可以求出逆矩阵。
定理&#xff1a;n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0.
在这里插入图片描述
回想一下&#xff0c;A可逆&#xff0c;充要条件行列式不为0&#xff0c;A满秩&#xff0c;行列式不为0&#xff0c;A非奇异&#xff0c;行列式不为0。因此一个行列式不为0&#xff0c;有了三种说法。
在这里插入图片描述

逆矩阵的性质

在这里插入图片描述
图片的这些公式&#xff0c;是学习的基础&#xff0c;如果仅仅看起来很熟悉&#xff0c;闭着眼睛&#xff0c;想不起来。做题还是比较完蛋。

逆阵的求法

方法一&#xff1a;用A求。1/|A| x A
方法二&#xff1a;初等变换法
在这里插入图片描述
方法三&#xff1a;用定义求
对n阶方阵A&#xff0c;只需找到一个n阶矩阵B&#xff0c;使AB&#61;E或者BA&#61;E就行了。
方法四&#xff1a;用定义证明B为A的逆
也就是证明等式AB&#61;E成立或者BA&#61;E成立。

分块矩阵

矩阵里面有小矩阵&#xff0c;如果分块矩阵做转置&#xff0c;大块小块一起转。
在这里插入图片描述

特殊的分块阵


准对角阵

在这里插入图片描述

分块三角阵

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
我在记忆分块上三角与分块下三角的时候&#xff0c;按照它的下标规律&#xff0c;进行记忆

矩阵方程

到了学习此模块的内容&#xff0c;就可以放松一下&#xff0c;因为这只是矩阵的一个应用。

AX&#61;B,A可逆

解法一
在这里插入图片描述
解法二&#xff1a;
在这里插入图片描述
这是行变换&#xff0c;行变换哟&#xff01;一会行&#xff0c;一会列的&#xff0c;答案肯定是错的&#xff01;

XA&#61;B,A可逆

解法一&#xff1a;
在这里插入图片描述
解法二&#xff1a;
在这里插入图片描述
解法三&#xff1a;
在这里插入图片描述
建议还是行变化吧&#xff0c;一路行到底。最后再转置一下&#xff0c;大功告成&#xff01;

AXC&#61;B,A,C可逆

解法一&#xff1a;
在这里插入图片描述
解法二&#xff1a;
在这里插入图片描述
看起来AXC要计算量很大的样子&#xff0c;但是求解矩阵方程时&#xff0c;一定要记住&#xff1a;先化简方程&#xff0c;再求解。
总结&#xff1a;矩阵是线性代数的基本内容&#xff0c;熟练掌握矩阵的基本概念和简单运算对后面的学习将会是一个重大的帮助。


推荐阅读
  • 三星W799在2011年的表现堪称经典,以其独特的双屏设计和强大的功能引领了双模手机的潮流。本文详细介绍其配置、功能及锁屏设置。 ... [详细]
  • 深入理解Tornado模板系统
    本文详细介绍了Tornado框架中模板系统的使用方法。Tornado自带的轻量级、高效且灵活的模板语言位于tornado.template模块,支持嵌入Python代码片段,帮助开发者快速构建动态网页。 ... [详细]
  • 如何高效创建和使用字体图标
    在Web和移动开发中,为什么选择字体图标?主要原因是其卓越的性能,可以显著减少HTTP请求并优化页面加载速度。本文详细介绍了从设计到应用的字体图标制作流程,并提供了专业建议。 ... [详细]
  • 苹果新专利或将引领无边框手机时代
    苹果公司最近公布了一项新的专利技术,该技术能够在设备屏幕中嵌入光线传感器,这标志着苹果在实现无边框手机设计上迈出了重要一步。这一创新将极大提升手机的屏占比,并可能为未来的iPhone带来革命性的变化。 ... [详细]
  • 本文介绍如何使用 Python 提取和替换 .docx 文件中的图片。.docx 文件本质上是压缩文件,通过解压可以访问其中的图片资源。此外,我们还将探讨使用第三方库 docx 的方法来简化这一过程。 ... [详细]
  • RT,个人博客图片管理(方便管理,大家 ... [详细]
  • 2023年京东Android面试真题解析与经验分享
    本文由一位拥有6年Android开发经验的工程师撰写,详细解析了京东面试中常见的技术问题。涵盖引用传递、Handler机制、ListView优化、多线程控制及ANR处理等核心知识点。 ... [详细]
  • 网络运维工程师负责确保企业IT基础设施的稳定运行,保障业务连续性和数据安全。他们需要具备多种技能,包括搭建和维护网络环境、监控系统性能、处理突发事件等。本文将探讨网络运维工程师的职业前景及其平均薪酬水平。 ... [详细]
  • 从零开始构建完整手机站:Vue CLI 3 实战指南(第一部分)
    本系列教程将引导您使用 Vue CLI 3 构建一个功能齐全的移动应用。我们将深入探讨项目中涉及的每一个知识点,并确保这些内容与实际工作中的需求紧密结合。 ... [详细]
  • 帝国CMS多图上传插件详解及使用指南
    本文介绍了一款用于帝国CMS的多图上传插件,该插件通过Flash技术实现批量图片上传功能,显著提升了多图上传效率。文章详细说明了插件的安装、配置和使用方法。 ... [详细]
  • PHP 5.5.0rc1 发布:深入解析 Zend OPcache
    2013年5月9日,PHP官方发布了PHP 5.5.0rc1和PHP 5.4.15正式版,这两个版本均支持64位环境。本文将详细介绍Zend OPcache的功能及其在Windows环境下的配置与测试。 ... [详细]
  • 百度服务再次遭遇技术问题,疑似DNS解析故障
    近日晚间,百度多项在线服务出现加载异常,包括移动端搜索在内的多个功能受到影响。初步迹象表明,问题可能与DNS服务器解析有关。 ... [详细]
  • 本文详细介绍了《问道》手游在2020年12月31日进行的服务器维护情况,以及此次更新中新增的跨年狂欢活动和寒假活动等内容。同时,文章还涵盖了其他重要的系统优化与修复信息。 ... [详细]
  • Win11扩展卷无法使用?解决扩展卷灰色问题的指南
    本文详细介绍了在Windows 11中遇到扩展卷灰色无法使用时的解决方案,帮助用户快速恢复磁盘扩展功能。 ... [详细]
  • 掌握 Photoshop 是学习网页设计的重要一步。本文将详细介绍 Photoshop 的基础与进阶功能,帮助您更好地进行图像处理和网页设计。推荐使用最新版本的 Photoshop,以体验更强大的功能和更高的效率。 ... [详细]
author-avatar
老屋时光_503
这个家伙很懒,什么也没留下!
PHP1.CN | 中国最专业的PHP中文社区 | DevBox开发工具箱 | json解析格式化 |PHP资讯 | PHP教程 | 数据库技术 | 服务器技术 | 前端开发技术 | PHP框架 | 开发工具 | 在线工具
Copyright © 1998 - 2020 PHP1.CN. All Rights Reserved | 京公网安备 11010802041100号 | 京ICP备19059560号-4 | PHP1.CN 第一PHP社区 版权所有