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[HDU5184]Brackets

前言很好的一道卡特兰数入门题,不板也不难题目HDU讲解括号匹配是经典的卡特兰数问题首先我们把无解与唯一解的情况特判出来,再考虑问题传统的卡特兰数的括号匹配对应的模型为从$(0,0)

前言

很好的一道卡特兰数入门题,不板也不难


题目

HDU


讲解

括号匹配是经典的卡特兰数问题

首先我们把无解与唯一解的情况特判出来,再考虑问题

传统的卡特兰数的括号匹配对应的模型为从\((0,0)\)走到\((n,n)\)而不越过\(y=x\)的方案数

而现在我们的起点变成了\((a,b)\),其中\(a\)为已经给出的左括号\((\)的数量,\(b\)为右括号的数量

而终点变成了\((n/2,n/2)\)(这里的\(n\)为题目给出的\(n\))

根据传统卡特兰数的求解方式,我们发现不考虑限制,到\((n/2,n/2)\)的方案数减去到\((n/2-1,n/2+1)\)的方案数即为答案

所以最终答案为\(C_{n/2-a+n/2-b}^{n/2-a}-C_{n/2-1-a+n/2+1-b}^{n/2-1-a}\)

这个式子未免太过冗长

我们令\(A=n/2-a,B=n/2-b\)

化简后为\(C_{A+B}^{A}-C_{A+B}^{A-1}\)


代码

LL qpow(LL x,int y)
{
LL ret = 1;
while(y){if(y & 1) ret = ret * x % MOD;x = x * x % MOD;y >>= 1;}
return ret;
}
int fac[MAXN],ifac[MAXN];
void pre(int x)
{
fac[0] = 1;
for(int i = 1;i <= x;++ i) fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % MOD;
ifac[x] = qpow(fac[x],MOD-2);
for(int i = x-1;i >= 0;-- i) ifac[i] = 1ll * ifac[i+1] * (i + 1) % MOD;
}
int check()
{
int cnt = 0;
for(int i = 1;i <= lena;++ i)
if(a[i] == ‘(‘) cnt++;
else
{
cnt--;
if(cnt <0) return -1;
}
if(lena + cnt > n) return -1;
return cnt;
}
LL C(int x,int y)
{
if(x return 1ll * fac[x] * ifac[y] % MOD * ifac[x-y] % MOD;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
pre(1000000);
while(~scanf("%d",&n))
{
scanf("%s",a+1);
lena = strlen(a+1);
int c = check();
if((n & 1) || c <0) {Put(0,‘\n‘);continue;}
if(!c && lena == n){Put(1,‘\n‘);continue;}
int A = (n-lena-c) / 2,B = (n-lena-c) / 2 + c;//‘(‘,‘)‘
Put((C(A+B,A) - C(A+B,A-1) + MOD) % MOD,‘\n‘);
}
return 0;
}


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