群、环、域基础与例子

0 群

群的定义&＃xff08;群的公理&＃xff09;&＃xff1a;

        我们将满足以下公理的集合G称为群&＃xff1a;
                0.关于运算*是闭集。&＃xff08;运算*为广义运算&＃xff09;
                1.对于任意的元&＃xff0c;都满足结合律。
                2.存在单位元。
                3.对于任意的元&＃xff0c;都有与其对应的逆元。

        如果在群的基础上&＃xff0c;再满足交换律&＃xff08;a运算b &＃61; b 运算 a&＃xff09;&＃xff0c;我们称这种群叫做阿贝尔群。

        半群&＃xff1a;满足条件0和条件1的集合称为半群。

        群的例子&＃xff1a;整数群
                0.对于任何两个整数a和b&＃xff0c;它们的和也是整数。满足条件0&＃xff0c;关于运算&＃43;是闭集&＃xff1b;
                1.对于任何整数a,b和c,(a &＃43; b) &＃43; c&＃61;a &＃43; (b &＃43; c)。满足条件1&＃xff0c;关于运算&＃43;满足结合律&＃xff1b;
                2.对于任何整数a&＃xff0c;0 &＃43; a &＃61; a &＃43; 0 &＃61; a&＃xff1b;
                3.对于任何整数a,存在另一个整数b使得a &＃43; b &＃61; b &＃43; a &＃61; 0。整数b叫做整数a的逆元&＃xff0c;记为-a。

1 环

环的定义&＃xff08;环的公理&＃xff09;&＃xff1a;

        我们将满足以下公理的集合G称为环&＃xff1a;
                0.关于运算&＃43;&＃xff08;广义运算&＃xff09;&＃xff1a;
                       0.0.闭集
                       0.1.存在单位元
                       0.2.所有元素都满足结合律
                       0.3.所有元素都满足交换律
                       0.4.所有元素都存在与其对应的逆元
                 1.关于运算×&＃xff08;广义运算&＃xff0c;区别于前面的运算&＃43;&＃xff09;&＃xff1a;
                       1.0.闭集
                       1.1.存在单位元
                       1.2.所有元素都满足结合律
                       1.3.所有元素都满足交换律
                  2.关于运算&＃43;和×&＃xff08;前面的两种运算&＃xff09;&＃xff1a;
                       2.0.所有元素都满足分配律

         在前面群和半群的定义基础上&＃xff0c;环还可以如下定义&＃xff1a;
                  0.关于运算&＃43;&＃xff08;广义运算&＃xff09;&＃xff0c;&＃xff08;G&＃xff0c;&＃43;&＃xff09;为阿贝尔群&＃xff08;交换群&＃xff09;&＃xff1b;
                  1.关于运算×&＃xff08;广义运算&＃xff0c;区别于前面的运算&＃43;&＃xff09;&＃xff0c;&＃xff08;G&＃xff0c;×&＃xff09;为半群&＃xff1b;
                  2.×对&＃43;适用分配律&＃xff1a;a(b &＃43; c) &＃61; ab &＃43; ac.

         环的例子&＃xff1a;整数环
         集合Z&＃xff08;整数集&＃xff09;对于运算&＃43;&＃xff08;数学加法&＃xff09;是一个阿贝尔群&＃xff1b;对于运算×&＃xff08;数学乘法&＃xff09;是一个半群&＃xff1b;所以集合Z是一个环&＃xff08;整数环&＃xff09;

2 域

域的定义&＃xff08;域的公理&＃xff09;&＃xff1a;

       我们将满足以下公理的集合G称为域&＃xff1a;
                0.关于运算&＃43;&＃xff08;广义运算&＃xff09;&＃xff1a;
                       0.0.闭集
                       0.1.存在单位元
                       0.2.所有元素都满足结合律
                       0.3.所有元素都满足交换律
                       0.4.所有元素都存在与其对应的逆元
                 1.关于运算×&＃xff08;广义运算&＃xff0c;区别于前面的运算&＃43;&＃xff09;&＃xff1a;
                       1.0.闭集
                       1.1.存在单位元
                       1.2.所有元素都满足结合律
                       1.3.所有元素都满足交换律
                       1.4.除了0以外的所有元素都存在与其对应的逆元
                  2.关于运算&＃43;和×&＃xff08;前面的两种运算&＃xff09;&＃xff1a;
                       2.0.所有元素都满足分配律

         在前面的定义基础上&＃xff0c;域还可以如下定义&＃xff1a;
                  0.关于运算&＃43;&＃xff08;广义运算&＃xff09;&＃xff0c;&＃xff08;G&＃xff0c;&＃43;&＃xff09;为阿贝尔群&＃xff08;交换群&＃xff09;&＃xff1b;
                  1.关于运算×&＃xff08;广义运算&＃xff0c;区别于前面的运算&＃43;&＃xff09;&＃xff0c;&＃xff08;G-{0}&＃xff0c;×&＃xff09;为阿贝尔群&＃xff1b;
                  2.×对&＃43;适用分配律&＃xff1a;a(b &＃43; c) &＃61; ab &＃43; ac.

         域的例子&＃xff1a;有理数域
         集合Q&＃xff08;有理数集&＃xff09;对于运算&＃43;&＃xff08;数学加法&＃xff09;是一个阿贝尔群&＃xff1b;对于运算×&＃xff08;数学乘法&＃xff09;除开0以外是一个阿贝尔群&＃xff1b;所以集合Q是一个域&＃xff08;有理数域&＃xff09;

有理数集合&＃xff0c;实数集合&＃xff0c;复数集合&＃xff0c;这些都是无线域&＃xff0c;在信息安全中没有什么实际意义

在信息安全中比较有用的是有限域&＃xff0c;主要有素域、二进制域等等&＃xff0c;之后会继续更新