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2018年常微分方程MATLAB解法.doc

常微分方程MATLAB解法

实验四

一、问题背景与实验目的

求微分方程的解

实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程&＃xff0c;绝大多数都是微分方程&＃xff0c;真正能得到代数方程的机会很少&＃xff0e;另一方面&＃xff0c;能够求解的微分方程也是十分有限的&＃xff0c;特别是高阶方程和偏微分方程(组)&＃xff0e;这就要求我们必须研究微分方程(组)的解法&＃xff0c;既要研究微分方程(组)的解析解法(精确解)&＃xff0c;更要研究微分方程(组)的数值解法(近似解)&＃xff0e;

对微分方程(组)的解析解法(精确解)&＃xff0c;Matlab有专门的函数可以用&＃xff0c;本实验将作一定的介绍&＃xff0e;

本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法(近似解)&＃xff0c;重点介绍Euler折线法&＃xff0e;

二、相关函数(命令)及简介

1&＃xff0e;dsolve(&＃39;equ1&＃39;,&＃39;equ2&＃39;,…)&＃xff1a;Matlab求微分方程的解析解&＃xff0e;equ1、equ2、…为方程(或条件)&＃xff0e;写方程(或条件)时用Dy表示y关于自变量的一阶导数&＃xff0c;用用D2y表示y关于自变量的二阶导数&＃xff0c;依此类推&＃xff0e;

2&＃xff0e;simplify(s)&＃xff1a;对表达式s使用maple的化简规则进行化简&＃xff0e;例如&＃xff1a;symsx

simplify(sin(x)^2&＃43;cos(x)^2)ans&＃61;1

3&＃xff0e;[r,how]&＃61;simple(s)&＃xff1a;由于Matlab提供了多种化简规则&＃xff0c;simple命令就是对表达式s用各种规则进行化简&＃xff0c;然后用r返回最简形式&＃xff0c;how返回形成这种形式所用的规则&＃xff0e;

例如&＃xff1a;symsx

[r,how]&＃61;simple(cos(x)^2-sin(x)^2)r&＃61;cos(2*x)how&＃61;combine

4&＃xff0e;[T,Y]&＃61;solver(odefun,tspan,y0)求微分方程的数值解&＃xff0e;说明&＃xff1a;

(1)其中的solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb之一&＃xff0e;

?dy

?&＃61;f(t,y)

(2)odefun是显式常微分方程&＃xff1a;?dt

??y(t0)&＃61;y0

(3)在积分区间tspan&＃61;[t0,tf]上&＃xff0c;从t0到tf&＃xff0c;用初始条件y0求解&＃xff0e;

(4)要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,?上的解&＃xff0c;则令tspan&＃61;[t0,t1,t2,?,tf](要求是单调的)&＃xff0e;

(5)因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题&＃xff0c;为此&＃xff0c;Matlab提供了多种求解器Solver&＃xff0c;对于不同的ODE问题&＃xff0c;采用不同的Solver&＃xff0e;求解器Solverode45

ODE类型非刚性

特点

说明

单步算法&＃xff1b;4、5阶Runge-Kutta大部分场合的首选算

法

方程&＃xff1b;累计截断误差达(?x)3

单步算法&＃xff1b;2、3阶Runge-Kutta使用于精度较低的情

形

方程&＃xff1b;累计截断误差达(?x)3

多步法&＃xff1b;Adams算法&＃xff1b;高低精计算时间比ode45短度均可到10?3~10?6

ode23非刚性

ode113非刚性

ode23tode15sode23sode23tb

适度刚性刚性刚性刚性采用梯形算法

多步法&＃xff1b;Gear&＃39;s反向数值微分&＃xff1b;精度中等

单步法&＃xff1b;2阶Rosebrock算法&＃xff1b;低精度

梯形算法&＃xff1b;低精度

适度刚性情形

若ode45失效时&＃xff0c;可尝试使用

当精度较低时&＃xff0c;计算时间比ode15s短当精度较低时&＃xff0c;计算时间比ode15s短

(6)要特别的是&＃xff1a;ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的Matlab的常用程序&＃xff0c;其中&＃xff1a;

ode23采用龙格-库塔2阶算法&＃xff0c;用3阶公式作误差估计来调节步长&＃xff0c;具有低等的精度&＃xff0e;

ode45则采用龙格-库塔4阶算法&＃xff0c;用5阶公式作误差估计来调节步长&＃xff0c;具有中等的精度&＃xff0e;

5&＃xff0e;ezplot(x,y,[tmin,tmax])&＃xff1a;符号函数的作图命令&＃xff0e;x,y为关于参数t的符号函数&＃xff0c;[tmin,tmax]为t的取值范围&＃xff0e;

6&＃xff0e;inline()&＃xff1a;建立一个内联函数&＃xff0e;格式&＃xff1a;inline(&＃39;expr&＃39;,&＃39;var1&＃39;,&＃39;var2&＃39;,…)&＃xff0c;注意括号里的表达式要加引号&＃xff0e;

例&＃xff1a;Q&＃61;dblquad(inline(&＃39;y*sin(x)&＃39;),pi,2*pi,0,pi)

三、实验内容

1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的例子&＃xff1a;

dy?x2

例1&＃xff1a;求解微分方程&＃43;2xy&＃61;xe&＃xff0c;并加以验证&＃xff0e;

dx

求解本问题的Matlab程序为&＃xff1a;

symsxy%line1y&＃61;dsolve(&＃39;Dy&＃43;2*x*y&＃61;x*exp(-x^2)&＃39;,&＃39;x&＃39;)%line2diff(y,x)&＃43;2*x*y-x*exp(-x^2)%line3simplify(diff(y,x)&＃43;2*x*y-x*exp(-x^2))%line4说明&＃xff1a;

(1)行line1