什么是参数方程

　　一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：

　

　　并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

　　例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如摆线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，有了参数方程，就可以很容易表达。

直线

空间中的直线

　　空间中两个平面的交集是一条直线，如果抛开平面，直线可以看作是点匀速直线运动的轨迹。

　　通过两点确定一条直线，此外，已知一点和与直线平行的向量也能确定一条直线。

直线的参数方程

　　一个点在空间中匀速直线运动，它在t = 0和t = 1时刻经过Q₀ = (-1, 2, 2)和Q₁ = (1, 3, -1)两点，Q(t)是该点关于时间t的函数：

 

　　如上图所示，点在t = 0时刻的位置Q₀ = Q(0) = (-1, 2, 2)，t = 1时刻的位置Q₁ = Q(1) = (1, 3, -1)，那么在任意t时刻，Q的位置Q(t)是哪里？

　　现在将问题转换为向量：

 

　　由于是匀速运动，所以运动距离与时间成正比：

　　随着时间的增长，向量也将增长。由于Q(t)是空间内的点，所以：

　　这就是该直线的参数方程，其来源是Q₀Q(t) = tQ₀Q₁

　　如果t = 2，则在该时刻Q(2) = (3, 5, -4)

直线与平面的关系

　　上面的两个点Q₀ = (-1, 2, 2)和Q₁ = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z = 7来说，位置关系是什么？在平面的两侧还是一侧？是否在平面上？

　　将Q₀和Q₁代入平面方程：

　　由此可见Q₀和Q₁不在平面上，它们分属于平面两侧，向量Q₀Q₁将穿过平面，与平面有唯一的交点，这个交点又是什么？

　　上节已经求得了直线的参数方程Q(t) = (2t-1, t+2, -3t+2)，直线与平面的交点将满足：

　　将直线参数方程代入平面方程也可能出现有无数解或无解的情况，此时直线与平面没有唯一交点，直线可能在平面上或与平面平行。

　　总结一下，把直线方程Q(t) = (x(t), y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c = d，如果能计算出t的唯一值，直线穿过平面；如果得到一个等于d的常数，则直线在平面上；如果得到一个不等于d的常数，则直线与平面平行。

曲线

　　对于平面或空间内的任意运动，同样可以用参数方程表示。

摆线的参数方程

　　摆线是一种有名的曲线，它描述了当车辆匀速直线运动时，车轮上点的运动轨迹。如下图所示，P是半径为a的车轮边缘上的一点，刚开始时在原点，当车轮向右滚动后，P点将随之转动：

　　我们关注的问题是车轮滚动后P的轨迹，也就是t时刻P点的位置。如果P点是位置关于时间的函数，用参数方程可以表示为Q(t) = (x(t), y(t))。这意味着从时间的角度来表示位置，然而时间并非最好的参变量，因为P的轨迹是与时间无关的，即使车速变快，P的运动轨迹也不会改变。我们注意到，当车轮匀速运动时，P的角度和时间成正比： 

　　∠θ和运动时间成正比，如果θ超过2π，则相当于开始了一个新的周期，对于角度的运算，3π和π是相同的。由此，可以将时间替换为角度，也就是使用车轮转动角度做参变量将得到更简单的答案：

　　将车轮转换为上图所示的向量(向量可参考《线性代数笔记2——向量（向量简介）》)，则向量OP的参数方程就可以表示P点的运动轨迹。

 

　　由于车轮是沿着地面转动，且最初P的位置与O相同，所以在第一圈时，OA = PA的弧长（我承认在画图时比较随意，看起来它们并不相等）：

 

　　实际上，无论第几圈，上式都成立。由于已经知道了OA和AB的长度，可以得出相应的向量：

 

　　现在只需要求出向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标，由于向量只描述了大小和方向，所以向量和具体位置无关，因此可以通过将向量BP平移求得BP：

 

　　最终：

摆线的斜率

　　在车轮滚动一圈后，点P回到x轴，开始进入下一个周期，两个周期相交于一点。有一个值得关注的问题是，如果在该点处作轨迹曲线的切线，切线的斜率是什么？如下图所示，就是计算P₅处轨迹曲线的切线：

　　为了简化问题，将当车轮看作单位圆，此时a = 1，

 

　　在P₅处，θ=2π，斜率：

 

　　此时没有意义，但可以计算极限：

 

　　因此，在P₅处，斜率趋近于∞，也就是有一条垂直于x轴的切线。

　　也可以使用泰勒展开式计算斜率（泰勒级数可参考《数学笔记31——幂级数和泰勒级数》)：

示例

示例1

　　两条直线L₁和L₂是否相交，如果相交，其交点是什么？

　　可以用以往的知识将参数方程转换为普通方程：

 

　　方程组有唯一解，x = 1, y = 2，两条直线相交于(1, 2)

　　也可以直接用参数方程求解。如果两条直线相交，参数方程组有唯一解：

 

　　将解代入参数方程：

　　两条直线相交于(1, 2)

示例2

　　直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3, 3)两点，直线与平面2x + y – z = 1的关系？

　　设直线方程是L(x(t), y(t), z(t))，则：

　　将L的参数方程代入平面方程：

 

　　t有唯一解，指向与平面相交。将t代入直线的参数方程，交点是(1, 1, 2)

 

---

　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

　　本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！