思维导图

集合论基础

基本概念及集合的表示方法

• 集合与元素


• 有限集合与无限集合


• 集合的表示方法


• 说明

集合间的关系

• 被包含关系(子集)

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 相等关系

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 真被包含关系(真子集)

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  

特殊集合

• 全集 E

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 空集 Φ

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 集合的幂集(Power Set)

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  

集合的运算

• 交运算∩

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 并运算∪

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 差运算- (相对补集)

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 绝对补集 ~

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 对称差

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 小结

  
  

包含排斥原理

小结

二元关系

序偶与集合的笛卡尔积

• 序偶与有序n元组


• 集合的笛卡尔积

关系及其表示法

• 例子

  
  



• 基本概念

  
  
  
  
  • 关系的定义
  
  
  • 关系的定义域与值域
  
  
  
  



• 关系的表示方法

  
  
  
  
  • 枚举法
  
  
  • 谓词公式法
  
  
  • 有向图法
  
  
  • 矩阵表示法
  
  
  
  



• 三个特殊关系

  
  
  
  
  • 空关系Φ
  
  
  • 完全关系(全域关系)
  
  
  • A上的恒等关系IA
  
  
  
  



• 关系的集合运算

  
  

关系的性质

• 自反性


• 反自反性


• 对称性


• 反对称性


• 传递性


• 小结


• 练习

关系的复合 Composition of Relations

• 引入

  
  



• 定义

  
  



• 复合关系的计算方法 (俗称过河拆桥法)

  
  
  
  
  • 枚举法
  
  
  • 有向图法
  
  
  • 关系矩阵法
  
  
  • 谓词公式法
  
  
  • 练习
  
  
  
  



• 复合计算的性质

  
  
  
  
  • 3条
  
  
  
  



• 关系的乘幂

  
  

逆关系Inverse Relation

• 定义

  
  



• 计算方法

  
  



• 性质

  
  
  
  
  • 性质1
  
  
  • 性质2
  
  
  • 性质3
  
  
  • 性质4
  
  
  • 性质5
  
  
  • 性质6
  
  
  • 性质7
  
  
  • 性质8
  
  
  
  



• 小结

  
  

关系的闭包(Closure)运算

• 例子

  
  



• 定义

  
  



• 计算方法

  
  
  
  
  • 定理1
  
  
  • 定理2
  
  
  • 定理3
  
  
  • 定理4
  
  
  
  



• 性质

  
  
  
  
  • 定理5
  
  
  • 定理6
  
  
  • 定理7
  
  
  • 定理8
  
  
  
  



• 小结

  
  

集合的划分与覆盖Partition and Covering of a Set

• 引入


• 定义


• 最小划分与最大划分


• 交叉划分


• 划分的加细

等价关系与等价类 Equivalence Relations ＆ Equivalence Class

• 等价关系

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 等价关系的有向图
  
  
  
  



• 等价类

  
  
  
  

  • 定义

    
    
  
  

  • 由等价关系图求等价类

    
    
  
  

  • 等价类性质

    
    
    
    
    • 性质1
    
    
    • 性质2
    
    
    • 性质3
    
    
    • 性质4
    
    
    • 性质5
    
    
    • 性质6
    
    
    
    
  
  
  
  



• 商集(Quotient Sets)

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 定理
  
  
  
  



• 由划分确定等价关系

  
  



• 小结

  
  

相容关系Compatibility Relation

• 定义


• 简化图和简化矩阵


• 相容类及最大相容类


• 完全覆盖


• 由覆盖求相容关系


• 小结

次序关系

• 偏序关系(partial order relation)

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • x与y是可比较的
  
  
  
  



• 全序(线序、链)

  
  



• 偏序集的哈斯图(Hasse图)

  
  
  
  
  • 元素y盖住元素x
  
  
  • 偏序集Hasse图的画法
  
  
  
  



• 偏序集中的重要元素

  
  
  
  
  • 极小元与极大元
  
  
  • 最小元与最大元
  
  
  • 小结
  
  
  • 上界与下界(Upper Bound and Lower Bound)
  
  
  • 最小上界(上确界)和最大下界(下确界)(Least Upper Bound and Greatest Lower Bound)
  
  
  
  



• 良序

  
  



• 小结

  
  

函数

函数的基本概念

• 概念

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 自变元与函数值(像源与映像)
  
  
  • 定义域、值域和陪域(共域)
  
  
  
  



• 函数的表示方法

  
  



• 从X到Y函数的集合Y?

  
  



• 特殊函数

  
  
  
  
  • 常值函数
  
  
  • 恒等函数
  
  
  
  



• 两个函数相等

  
  



• 函数的类型

  
  



• 小结

  
  

函数的复合

• 定义

  
  



• 复合函数的计算

  
  



• 函数复合的性质

  
  
  
  
  • 定理5-2.1
  
  
  • 定理5-2.2
  
  
  • 定理5-2.3
  
  
  • 定理5-2.4
  
  
  
  

逆函数

• 定义

  
  



• 性质

  
  
  
  
  • 定理5-3.1
  
  
  • 定理5-3.2
  
  
  • 定理5-3.3
  
  
  • 定理5-3.4
  
  
  
  

集合的特征函数与模糊子集

• 集合的特征函数

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 性质
  
  
  
  



• 模糊子集

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 模糊子集的表示方法
  
  
  • 模糊集合的运算
  
  
  
  

集合的基数

• 自然数

  
  
  
  
  • 集合A的后继集合A+
  
  
  • 自然数集合N的定义(Peano公理)
  
  
  
  



• 集合的等势

  
  
  
  
  • 定义
  
  
  • 集合间的等势关系“~”是个等价关系
  
  
  
  



• 基数类和基数

  
  
  
  
  • 基数类
  
  
  • 基数
  
  
  
  



• 有限集合与无限集合

  
  



• 可数集合及其基数

  
  
  
  

  • 自然数集合N的基数

    
    
  
  

  • 可数集

    
    
  
  

  • 可数集的判定

    
    
    
    
    • 定理5-5.1
    
    
    
    
  
  

  • 至多可数集

    
    
  
  
  
  



• 不可数集合及其基数

  
  
  
  
  • 实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的
  
  
  • 连续统基数
  
  
  • 计算公式
  
  
  
  



• 基数的比较

  
  
  
  
  • 定理5-5.2
  
  
  • 定理5-5.3(Zermelo定理)
  
  
  • 定理5-5.4(Contor- Schroder- Bernstein定理)
  
  
  • 定理5-5.5
  
  
  • 定理5-5.6
  
  
  • 连续统假设
  
  
  • 小结
  
  
  
  



• 小结