概率统计思维——几种概率分布函数

随着机器学习课程的推进，有一个部分是没法绕开的，那就是概率统计思维。

概率在生活中随处可见，从你出门看的天气预报，到买到的商品的质量好坏，以及你表白的成功率。相信我，概率分布的意义不仅在于统计，更可以指导你的人生。

本文大纲：

常见的离散性分布和连续性分布

如何理解正态分布和幂律分布的商业模式

使用python实现几种常见的概率分布模型

一、常见的离散性分布和连续性分布

在分清楚什么是离散性和连续性之前，我们首先要知道什么是随机变量。随机变量就是我们对每一个随机事件的结果进行赋值，这种不同的值就是随机变量。拿抛硬币为例吧，正面为1，反面为0，这样就有了把事件（正/反）用变量（1/0）表示的过程。

为什么要讲这么细呢？因为不同的事件不同的模型也会利用不同的概率函数。

常见的离散性概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布；常见的连续性分布有：正态分布和幂律分布。

下面用几个图解释一下每种分布的定义和计算方法：

伯努利分布是离散概率分布里面的基础，就是从抛硬币里抽象出来的：

二项分布则是多次重复的伯努利分布：

几何分布和二项分布非常相似，只有最后一点不同：

泊松分布则是二项分布进行无限细分的结果：

至于正态分布，我放到下一节讲。需要注意的是，离散性分布要求事件是独立事件，且每次发生事件的概率相同。这就对数据有很高的要求了，想了解怎么区分使用不同的概率函数，可以来猴子哥这里学习。

二、如何理解正态分布和幂律分布的商业模式

正态分布和幂律分布是我们经常可以听到的词。看两张图你就明白了：

正态分布有哪些：

幂律分布有哪些：

总结一下就是，每个人都是正态分布的普通人，但由于选择不同，最终的成绩却可以变成幂律分布一般的天差地别。

你一定想问，如何把自己的收入位于幂律分布的前列？又如何完成财富的累积呢？

猴子哥给了三个建议：

为自己的事情设置优先级。先做那些重要的事。才能在正确的路上不断积累经验。

通过有幂律分布的工作和生活方式寻找机会。比如互联网，比如知识付费，比如出书。

人不要担心没有时间，也许白天的工作只能将自己的时间出售一次，但每个人都有并行处理事情的能力，你完全可以利用空闲时间打磨一个技能，完成自我的提升。

说回到正态分布，什么是正态分布呢？

正太分布又名高斯分布（Gaussian distribution），正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。如图：

有趣的是，正态分布不能直接得到某一个点的值，因为它是连续性分布。我们需要计算一个范围：

Z表格就是将所有可能的值进行归一化后放入一张可以查询的表中，通过查询比某个值小的概率得到你需要的范围内的正态分布的概率：

三、使用python实现几种常见的概率分布模型

那么，用python怎么实现这些分布呢？我们需要用到科学计算包scipy

我将离散和随机变量分别画在两张画板上，代码如下：

#导入包
#数组包
import numpy as np
#绘图包
import matplotlib.pyplot as plt
#统计计算包的统计模块
from scipy import stats
from IPython.core.pylabtools import figsize # import figsize
figsize(10, 10) # 设置 figsize
'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
我们传入的X是一个数组，是给数组中的每个x坐标值绘制竖直线，
竖直线y坐标最小值是0，y坐标值最大值是对应pList中的值
官网文档：https://matplotlib.org/api/pyplot_api.html#matplotlib.pyplot.vlines
'''
plt.subplot2grid((2,2),(0,0)) #伯努利分布
X1 = np.arange(0, 2,1)
p1 = 0.5 # 硬币朝上的概率
pList1 = stats.bernoulli.pmf(X1, p1)
plt.plot(X1, pList1, marker='o',line)
plt.vlines(X1, 0, pList1)
plt.xlabel('随机变量：抛硬币1次')
plt.ylabel('概率')
plt.title('伯努利分布：p=%.2f' % p1)
plt.subplot2grid((2,2),(0,1)) #二项分布
n2 = 6 # 做某件事情的次数
p2 = .8 # 做某件事情成功的概率
X2 = np.arange(0, n2+1,1)
pList2=stats.binom.pmf(X2,n2,p2)
plt.vlines(X2, 0, pList2)
plt.xlabel('随机变量：股票成功次数')
plt.ylabel('概率')
plt.title('二项分布：n=%i,p=%.2f' % (n2,p2))#%i代表int类型，%.2f代表float类型小数点后两位
plt.subplot2grid((2,2),(1,0)) #几何分布
k3 = 5
# 做某件事情成功的概率，这里假设每次表白成功概率都是60%
p3 = 0.6
X3 = np.arange(1, k3+1,1)
pList3 = stats.geom.pmf(X3,p3)
plt.plot(X3, pList3, marker='o',line)
plt.vlines(X3, 0, pList3)
plt.xlabel('随机变量：表白第k次才首次成功')
plt.ylabel('概率')
plt.title('几何分布：p=%.2f' % p3)
plt.subplot2grid((2,2),(1,1)) #泊松分布
mu4 = 2 # 平均值：每天发生2次事故
k4=4 #次数，现在想知道每天发生4次事故的概率
#包含了发生0次、1次、2次，3次，4次事故
X4 = np.arange(0, k4+1,1)
pList4 = stats.poisson.pmf(X4,mu4)
plt.plot(X4, pList4, marker='o',line)
plt.vlines(X4, 0, pList4)
#x轴文本
plt.xlabel('随机变量：某路口发生k次事故')
#y轴文本
plt.ylabel('概率')
#标题
plt.title('泊松分布：平均值mu=%i' % mu4)
plt.subplots_adjust(top=0.92, bottom=0.08, left=0.10, right=0.95, hspace=0.4, wspace=0.3)
plt.show()

如图：

正态分布的实现代码和图形如下：

#导入包
#数组包
import numpy as np
#绘图包
import matplotlib.pyplot as plt
#统计计算包的统计模块
from scipy import stats
#第1步，定义随机变量：
mu=0 #平均值
sigma= 1 #标准差
X = np.arange(-5, 5,0.1)
#第2步，概率密度函数（PDF）
y=stats.norm.pdf(X,mu,sigma)
#第3步，绘图
'''
plot默认绘制折线
'''
plt.plot(X, y)
#x轴文本
plt.xlabel('随机变量：x')
#y轴文本
plt.ylabel('概率：y')
#标题
plt.title('正态分布：$\mu$=%.1f,$\sigma^2$=%.1f' % (mu,sigma))#$\sigma^2$表示特殊值
#网格
plt.grid()
#显示图形
plt.show()

以上。